理想气体经典计算题

如图所示，活塞质量为m=0.1 kg、横截面积为S=1.0 cm²，导热良好、质量M=0.2 kg的气缸通过弹簧吊在空中，弹簧的劲度系数为k=300N/m，气缸内封闭一定质量的空气，气缸内壁与活塞间无摩擦不漏气，初态气缸底部距地面h=1.0cm，活塞到气缸底部的距离为L=27 cm，大气压强为p₀=1.0×10 Pa，环境温度为t₁=-3℃，重力加速度g取10m/s²，热力学温度与摄氏温度的关系为T=（t+273）K.
（1）求初态被封闭气体的压强p₁;
（2）若环境温度缓缓升高到T₂时，气缸底部刚好接触地面且无挤压,求T₂;
（3)若环境温度继续升高到T时，弹簧恰好恢复原长，求T₃.

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（1）初态气体压强计算（共4分）
以汽缸为研究对象受力分析，由平衡条件得：
$$ p_0 S = p_1 S + Mg \tag{2分} $$
解得：
$$ p_1 = \boxed{8\times10^4\ \text{Pa}} \tag{2分} $$

（2）温度$T_2$计算（共4分）
系统平衡条件：
$$ F = (M + m)g = (0.2+0.1)\times10 = \boxed{3\ \text{N}} \tag{1分} $$
胡克定律：
$$ x = \frac{F}{k} = \frac{3}{300} = \boxed{1\ \text{cm}} \tag{1分} $$
盖-吕萨克定律：
$$ \frac{L_1}{T_1} = \frac{L_2}{T_2} \quad (L_1=27\ \text{cm},\ T_1=270\ \text{K},\ L_2=28\ \text{cm}) \tag{1分} $$
解得：
$$ T_2 = 270\times\frac{28}{27} = \boxed{280\ \text{K}}\ (\text{7℃}) \tag{1分} $$

（3）温度$T_3$计算（共4分）
压强平衡条件：
$$ p_1 S = p_3 S \Rightarrow p_3 = \boxed{1.1\times10^5\ \text{Pa}} \tag{1分} $$
气柱长度：
$$ L_3 = L_1 + h + x = 27 + 1 + 1 = \boxed{29\ \text{cm}} \tag{1分} $$
理想气体方程：
$$ \frac{p_1 L_1}{T_1} = \frac{p_3 L_3}{T_3} \tag{2分} $$
解得：
$$ T_3 = \boxed{398.75\ \text{K}}\ (\text{125.75℃}) \tag{1分} $$

例题2（柱子）

如图，顶部封闭竖直放置的不对称U形玻璃管中，左侧A管的横截面积是右侧B管的2倍，管中充有水银，A管和B管中水银液面的高度相同，水银液面上方的管中有压强均为84cmHg的空气，A管中空气柱的长度为15cm，B管中空气柱的长度为30cm。打开管底部的阀门K，缓慢放出部分水银后再关闭
K。已知放出部分水银后B管中水银面下降了5cm，在放出水银的过程中温度保持不变。求A管中水银面下降的高度。

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【答案】3cm

【详解】B管内气体做等温变化，则
$$ p_{B0}Sh_{B} = p_{B}S(h_{B} + \Delta h_{B}) $$
其中
$$ p_{B0} = 84\,\text{cmHg},\quad h_{B} = 30\,\text{cm},\quad \Delta h_{B} = 5\,\text{cm} $$
解得
$$ p_{B} = 72\,\text{cmHg} $$

A管内气体做等温变化，则
$$ p_{A0} \cdot 2Sh_{B} = p_{A} \cdot 2S(h_{A} + \Delta h_{A}) $$
其中
$$ p_{A0} = 84\,\text{cmHg},\quad h_{A} = 15\,\text{cm} $$

装置稳定后有
$$ p_{A} + \rho g(\Delta h_{B} – \Delta h_{A}) = p_{B} $$
联立解得
$$ p_{A} = 70\,\text{cmHg},\quad \Delta h_{A} = 3\,\text{cm} $$

例题3

如图所示，”凸”形汽缸上、下部分高度均为$h$，上、下底面导热良好，其余部分绝热。上部分横截面积为$S$，下部分横截面积为$2S$。

汽缸被总重力$G = 2p_0S$、中间用轻杆相连的$a$、$b$两绝热活塞（密封性良好）分成$A$、$B$、$C$三部分，活塞稳定时$A$、$B$、$C$三个部分内的气体温度均为$T$，$A$、$C$部分气体压强为$p_0$，$A$、$B$部分高均为$\frac{h}{2}$，$C$部分高为$h$。

现保持$A$、$B$温度不变，使$C$中的气体温度缓慢变化至某温度，最终稳定后两活塞缓慢下降了$\frac{h}{4}$，不计所有摩擦。求：

$C$温度变化前，$B$中气体的压强；
$C$中气体最终温度为多少？

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【解析】
[（1）] $C$温度变化前，对两活塞列平衡方程：
$$2p_{0}S + p_{0}S + p_{0}\cdot 2S = p_{B}\cdot 2S + p_{0}S$$
解得：
$$p_{B} = 2p_{0}$$

[（2）] $A$中气体状态分析：

初状态：
$$p_{A1}=p_{0},\quad V_{A1}=S\frac{h}{2},\quad T_{A1}=T$$
末状态：
$$V_{A2}=S\left(\frac{h}{2}+\frac{h}{4}\right),\quad T_{A2}=T$$

由玻意耳定律：
$$p_{A1}V_{A1} = p_{A2}V_{A2}$$
解得：
$$p_{A2} = \frac{2}{3}p_{0}$$

例题4

如图所示，竖直放置的卡腰式圆柱形气缸由$a$、$b$两部分组成，两部分高度均为$L=10\,\text{cm}$，气缸$a$的横截面积$S=20\,\text{cm}^2$，气缸$b$的横截面积是$a$的2倍，气缸$a$的下端装有抽气筒。气缸$b$中有光滑活塞（厚度不计），活塞质量为$m=20\,\text{kg}$，活塞与气缸间封闭性良好。初始状态活塞恰好在气缸$b$的上端，现对气缸进行缓慢抽气，共抽气22次，每次抽出气体的体积均为$V_{0}=20\,\text{mL}$。温度保持不变，大气压强为$P_{0}=1.0\times10^{5}\,\text{Pa}$。求：

（1）前10次抽气过程中气缸$b$中的活塞对气体做的功；

（2）整个抽气过程结束后，气缸内气体的压强；

（3）整个抽气过程结束后，抽出气体的质量占抽气前气体质量的百分比。

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【答案】（1）30J；（2）1.24×10⁵Pa；（3）72.4％

【详解】（1）由题意可知气缸b的横截面积为

$S_b=40cm^2$

气缸b的容积为

$V_b=400cm^3$

气缸内气体的压强为：
$$p = p_0 + \frac{mg}{S_b} = 1.5 \times 10^5 \,\text{Pa}$$

前10次抽气过程中抽出气体的体积为：
$$\Delta V = 10V_0 = 200\,\text{ml} = 200\,\text{cm}^3$$

（因$\Delta V$小于气缸$b$的容积）前10次抽气过程均为等压变化，活塞对气体做功：
$$W = p\Delta V = 1.5 \times 10^5 \times 200 \times 10^{-6} \,\text{J} = 30\,\text{J}$$

气缸$a$的容积：
$$V_a = 200\,\text{cm}^3$$

抽气20次后活塞恰达到卡腰处，气缸内压强：
$$p = 1.5 \times 10^5 \,\text{Pa}$$

第21次抽气过程（玻意耳定律）：
$$pV_a = p_{21}(V_a + V_0)$$
解得：
$$p_{21} = \frac{10}{11}p$$

第22次抽气过程同理：
$$p_{21}V_a = p_{22}(V_a + V_0)$$

由理想气体状态方程得：
$$p_{21}V_{\mathrm{a}} = p_{22}(V_{\mathrm{a}}+V_{0})$$

解得：
$$p_{22} = \left(\frac{10}{11}\right)^{2}p = 1.24 \times 10^{5}\,\text{Pa}$$

（3）由理想气体密度方程得：
$$\frac{p}{\rho} = \frac{p_{22}}{\rho_{22}}$$

整个抽气过程结束后剩余气体的质量与抽气前气体质量比为：
$$\frac{m_{22}}{m} = \frac{\rho_{22}V_{\mathrm{a}}}{\rho(V_{\mathrm{a}}+V_{\mathrm{b}})}$$

故整个抽气过程结束后，抽出气体的质量占抽气前气体质量的百分比为：
$$\frac{m – m_{22}}{m} \times 100\% = 72.4\%$$

例题5

如图，是常用的一种便携式喷雾器的原理图，其储液罐总容积为$V$。现装入$0.8V$的药液后并盖好注液口密封盖，然后通过打气筒向罐中打气，每次均能把$\frac{1}{25}V$的外界空气打进罐中。设打气过程中气体的温度没有变化，忽略排液管中的液体体积及罐中排液管液柱产生的压强，已知外界大气压强为$p_0$，密封气体可视为理想气体。则：

\begin{enumerate}
\item[(1)] 不喷药液时，要使储液罐中的气体压强达到$4p_0$，则打气筒打气的次数是多少？

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【答案】（1）15次；（2）20次

【详解】

状态参数设定：
• 初态： $$ p_1 = p_0 $$
$$ V_1 = 0.2V + N \cdot \frac{1}{25}V $$
• 末态： $$ p_2 = 4p_0 $$
$$ V_2 = 0.2V $$应用玻意耳定律（等温过程）：
$$ p_1V_1 = p_2V_2 $$
$$ p_0 \left(0.2V + \frac{N}{25}V \right) = 4p_0 \cdot 0.2V $$方程求解：
$$ 0.2 + \frac{N}{25} = 0.8 $$
$$ \frac{N}{25} = 0.6 $$
$$ N = 15 $$

设打气次数为$N$，对压强为$4p_0$的罐中气体：

初态参数：
$$ p_1 = p_0 $$
$$ V_1 = 0.2V + N \cdot \frac{1}{25}V $$

末态参数：
$$ p_2 = 4p_0 $$
$$ V_2 = 0.2V $$

由玻意耳定律（等温变化）：
$$ p_1V_1 = p_2V_2 $$
代入数据得：
$$ p_0(0.2V + \frac{N}{25}V) = 4p_0 \cdot 0.2V $$
解得：
$$ N = 20 $$

例题6

如图，一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑。整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气。平衡时，氮气的压强和体积分别为p₀和V₀，氢气的体积为2V₀，空气的压强为p，现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求：