动量冲量计算题训练
激光由于其单色性好、亮度高、方向性好等特点，在科技前沿的许多领域有着广泛的应用。根据光的波粒二象性可知，当光与其他物体发生相互作用时，光子表现出有能量和动量，对于波长为λ的光子，其动量$p=\dfrac{h}{\lambda}$。已知光在真空中的传播速度为$c$，普朗克常量为$h$。
（1）科研人员曾用强激光做过一个有趣的实验：一个水平放置的小玻璃片被一束强激光托在空中。已知激光竖直向上照射到质量为m的小玻璃片上后，全部被小玻璃片吸收，重力加速度为g。求激光照射到小玻璃片上的功率P；
（2）激光冷却和原子捕获技术在科学上意义重大，特别是对生物科学将产生重大影响。所谓激光冷却就是在激光的作用下使得做热运动的原子减速，其具体过程如下：一质量为m的原子沿着x轴负方向运动，频率为$v_0$的激光束迎面射向该原子。运动着的原子就会吸收迎面而来的光子从基态跃迁，而处于激发态的原子会立即自发地辐射光子回到基态。原子自发辐射的光子方向是随机的，在上述过程中原子的速率已经很小，因而光子向各方向辐射光子的可能性可认为是均等的，因而辐射不再对原子产生合外力的作用效果，并且原子的质量没有变化。
- ①设原子单位时间内与$n$个光子发生相互作用，求运动原子做减速运动的加速度$a$的大小；
- ②假设某原子以速度$v_0$沿着x轴负方向运动，当该原子发生共振吸收后跃迁到了第一激发态，吸收一个光子后原子的速度大小发生变化，方向未变。求该原子的第一激发态和基态的能级差ΔE？
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【答案】（1）$p=mgc$ ；（2） ①$a=\dfrac{nhv_0}{cm}$；②$\Delta E =hv_0(1+\dfrac{v_0}{c})-\dfrac{h^2v_0^2}{2c^2m}$
【详解】
（1）设在∆t时间内照射到玻璃表面的光子数为n，则由动量定理
$F\Delta t=np$
对玻璃板由平衡知识
$F=mg$
每个光子的能量
$E=hv=\dfrac{hc}{\lambda}=cp$
激光照射到小玻璃片上的功率
$P=\dfrac{nE}{\Delta t}$
解得
$P=mgc$
（2）①原子单位时间内与n个光子发生相互作用，由动量守恒定律
$n\dfrac{hv_0}{c}=m\Delta v$
原子的加速度
$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
其中∆t=1s解得
$a=\dfrac{nhv_0}{cm}$
②以原子开始运动的方向为正方向，原子吸收一个光子的过程，由动量守恒定律
$mv_0-\dfrac{hv_0}{c}=mv$
该原子的第一激发态和基态的能级差
$\Delta = \dfrac{1}{2}mv_0^2+hv_0-\dfrac{1}{2}mv^2$
解得
$\Delta E = hv_0(1+\dfrac{v_0}{c})-\dfrac{h^2v_0^2}{2c^2m}$
质量为M=4kg的长木板A静止放在光滑水平地面上，质量为m1=4kg的小物块B位于木板A的左端，质量为m2=4kg的物块C位于木板A的右端，物块B与木板A间的动摩擦因数为μ=0.5，C物块下表面光滑。某时刻，使物块B以速度v1=2m/s的速度从左到右运动，同时使物块C以速度v2=2m/s从右向左运动，已知当A、B速度相等时，B、C发生碰撞，碰后粘在一起运动，重力加速度g取10m/s2，B、C均看为质点，则：
（1）木板A的最大速度为多少？
（2）A、B间摩擦产生的热量为多少？
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【解析】
（1）B、C碰撞前，A做加速运动，B、C碰撞后，A做减速运动，故A、B速度相等时，A的速度最大；
对A、B系统，取向右为正方向，由动量守恒定律：$m_1v_1=(m_1+M)v$
解得$v=1m/s$
（2）B、C碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：$m_1v-m_2v_2=(m_1+m_2)v′$
解得：$v′=-0.5m/s$
碰撞过程中能量损失为：$\Delta E_1=\dfrac{1}{2}m_1v^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-\dfrac{1}{2}（m_1+m_2）v′^2$
解得：$\Delta E_1$=9J
当A、B、C相对静止时有：$m_1v_1-m_2v_2=(M+m_1+m_2)v″$
解得：$v″=0$
A、B间摩擦产生的热量：$Q=\dfrac{1}{2}m_1v_2^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-\Delta E_1$
解得：Q=7J。
如图所示，甲车质量\(m_{1} = 20\ \text{kg}\)，车上有质量\(M = 50\ \text{kg}\)的人，甲车（连同车上的人）以\(v = 3\ \text{m/s}\)的速度向右滑行，此时质量\(m_{2} = 50\ \text{kg}\)的乙车正以\(v_{0}=1.8\ \text{m/s}\)的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应当在什么范围内才能避免两车相撞。（不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长）
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解 1. 两车恰好不相撞的临界情况是：人跳到乙车后，两车速度相同。设共同速度为\(v’\)。
2. 对甲、乙车和人组成的系统应用动量守恒定律
规定向右为正方向，系统总动量守恒，初始总动量\(p=(m_{1}+M)v – m_{2}v_{0}\)。 – 末态总动量\(p’=(m_{1}+m_{2}+M)v’\)。
– 根据动量守恒定律即\((m_{1}+M)v – m_{2}v_{0}=(m_{1}+m_{2}+M)v’\)。
– 代入数据\(m_{1} = 20\ \text{kg}\)，\(M = 50\ \text{kg}\)，\(v = 3\ \text{m/s}\)，\(m_{2} = 50\ \text{kg}\)，\(v_{0}=1.8\ \text{m/s}\)：
– 左边\((20 + 50)\times3-50\times1.8=70\times3 – 90 = 210 – 90=120\)。
– 右边\((20 + 50+50)v’ = 120v’\)。
– 由\(120 = 120v’\)，解得\(v’ = 1\ \text{m/s}\)。
3. 对人跳离甲车过程应用动量守恒定律
– 设人跳出甲车的速度为\(u\)，对人跳离甲车过程，以向右为正方向，根据动量守恒定律\((m_{1}+M)v = m_{1}v’+Mu\)。
变形可得\(u=\frac{(m_{1}+M)v – m_{1}v’}{M}\)。
把\(m_{1} = 20\ \text{kg}\)，\(M = 50\ \text{kg}\)，\(v = 3\ \text{m/s}\)，\(v’ = 1\ \text{m/s}\)代入：
\(u=\frac{(20 + 50)\times3-20\times1}{50}=\frac{210 – 20}{50}=\frac{190}{50}=3.8\ \text{m/s}\)。
所以，人跳出甲车的水平速度\(u\geqslant3.8\ \text{m/s}\)时，才能避免两车相撞。
（多选）水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为\(4.0\ \text{kg}\)的静止物块以大小为\(5.0\ \text{m/s}\)的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为\(5.0\ \text{m/s}\)的速度与挡板弹性碰撞。总共经过\(8\)次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于\(5.0\ \text{m/s}\)，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为（ ）
A. \(48\ \text{kg}\)
B. \(53\ \text{kg}\)
C. \(58\ \text{kg}\)
D. \(63\ \text{kg}\)
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【bc】
步骤一：分析第一次推物块过程 设运动员的质量为\(M\)，物块质量\(m = 4.0\ \text{kg}\)，物块被推出的速度\(v = 5.0\ \text{m/s}\)。 取运动员退行方向为正方向，在第一次推物块过程中，根据动量守恒定律：系统初始总动量为\(0\)，推物块后运动员获得速度\(v_1\)，物块速度为\(-v\)，则有\(0 = Mv_1 – mv\)，解得\(v_1=\frac{mv}{M}\)。
步骤二：分析从第二次起推物块过程 从第二次推物块开始，每一次推物块过程，物块以速度\(-v\)靠近运动员，推物块后物块速度变为\(v\)，设第\(n\)次推物块后运动员速度为\(v_n\)（\(n\geq2\)）。
根据动量守恒定律可得：\(Mv_{n – 1}-mv = Mv_{n}+mv\)，移项整理可得\(M(v_{n}-v_{n – 1})=-2mv\) ，即\(v_{n}-v_{n – 1}=-\frac{2mv}{M}\)。
这表明从第二次推物块开始，每次推物块后运动员速度的增加量是固定的，\(v_{n}\)构成一个等差数列，其首项\(v_1=\frac{mv}{M}\)，公差\(d = -\frac{2mv}{M}\)（\(n\geq2\)）。
根据等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n – 1)d\)（这里\(a_{n}\)对应\(v_{n}\)，\(a_{1}\)对应\(v_1\) ）
可得，经过\(n\)次推物块后运动员的速度\(v_{n}=v_1+(n – 1)d=\frac{mv}{M}+(n – 1)\times(-\frac{2mv}{M})=\frac{(3 – 2n)mv}{M}\)（\(n\geq2\)） 。
步骤三：根据条件确定运动员质量的取值范围
根据第\(7\)次推物块后运动员速度小于等于\(5.0\ \text{m/s}\)列不等式** 当\(n = 7\)时，\(v_{7}=\frac{(3 – 2\times7)mv}{M}=\frac{-11mv}{M}\leq v = 5.0\ \text{m/s}\)，将\(m = 4.0\ \text{kg}\)，\(v = 5.0\ \text{m/s}\)
代入可得： \(\frac{-11\times4\times5}{M}\leq5\)，两边同时乘以\(M\)（\(M>0\)）得\(-220\leq5M\)，解得\(M\geq44\ \text{kg}\)。
根据第\(8\)次推物块后运动员速度大于\(5.0\ \text{m/s}\)列不等式
当\(n = 8\)时，\(v_{8}=\frac{(3 – 2\times8)mv}{M}=\frac{-13mv}{M}> v = 5.0\ \text{m/s}\)，将\(m = 4.0\ \text{kg}\)，\(v = 5.0\ \text{m/s}\)代入可得： \(\frac{-13\times4\times5}{M}>5\)，两边同时乘以\(M\)（\(M>0\)）得\(-260 > 5M\)，解得\(M<52\ \text{kg}\)。
综上，\(44\ \text{kg}\leq M<52\ \text{kg}\)，只有\(53\ \text{kg}\)和\(58\ \text{kg}\)在此范围内，所以答案选BC。